Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thoả mãn ${{5}^{y+3}}+y-{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)-\dfrac{x-18}{5}=0$ và $3<x<15623$ ?
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $4$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $3$.
Ta có ${{5}^{y+3}}+y-{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)-\dfrac{x-18}{5}=0\Leftrightarrow {{5}^{y+4}}+5\left( y+4 \right)=5{{\log }_{5}}\left( x+2 \right)+\left( x+2 \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+5{{\log }_{5}}x$ với $x>0$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=1+5\cdot \dfrac{1}{x\ln 5}>0, \forall x>0$ nên hàm số $f\left( x \right)=x+5{{\log }_{5}}x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Suy ra $f\left( {{5}^{y+4}} \right)=f\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{5}^{y+4}}=x+2\Leftrightarrow {{5}^{y+4}}-2=x$.
Vì $3<x<15623$ nên $3<{{5}^{y+4}}-2<15623\Leftrightarrow 5<{{5}^{y+4}}<15625\Leftrightarrow -3<y<2$.
Ứng với mỗi giá trị $y$ ta xác định được một giá trị $x$ nên có $4$ cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thoả mãn phương trình.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x+5{{\log }_{5}}x$ với $x>0$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=1+5\cdot \dfrac{1}{x\ln 5}>0, \forall x>0$ nên hàm số $f\left( x \right)=x+5{{\log }_{5}}x$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Suy ra $f\left( {{5}^{y+4}} \right)=f\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{5}^{y+4}}=x+2\Leftrightarrow {{5}^{y+4}}-2=x$.
Vì $3<x<15623$ nên $3<{{5}^{y+4}}-2<15623\Leftrightarrow 5<{{5}^{y+4}}<15625\Leftrightarrow -3<y<2$.
Ứng với mỗi giá trị $y$ ta xác định được một giá trị $x$ nên có $4$ cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thoả mãn phương trình.
Đáp án A.