Có bao nhiêu cặp số nguyên không âm $\left( x;y \right)$ thoả mãn...

Với $x,y\ge 0$. Ta có ${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}+1\ge {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{2x+3y+4}$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}\ge {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{2x+3y+4}-1$ $\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}\ge {{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{4x+6y+8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6}{4x+6y+9}\ge \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5}{4x+6y+8}$.
Đặt $a={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5;b=4x+6y+8\left( a,b>0 \right)$.
Suy ra $\dfrac{a+1}{b+1}\ge \dfrac{a}{b}$ $\Leftrightarrow \left( a+1 \right).b\ge a\left( b+1 \right)$ $\Leftrightarrow b\ge a$.
Do đó $4x+6y+8\ge {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+5\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 16$.
Suy ra $-4\le x-2\le 4\Leftrightarrow -2\le x\le 6$ ; mà $x\ge 0$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên ta có có các trường hợp sau
Trường hợp 1: $x=0\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 12\Leftrightarrow 3-2\sqrt{2}\le y\le 3+2\sqrt{3}$.
Do $y\ge 0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Trường hợp 2: $x=1\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 15\Leftrightarrow 3-\sqrt{15}\le y\le 3+\sqrt{15}$.
Do $y\ge 0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Trường hợp 3: $x=2\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 16\Leftrightarrow -1\le y\le 7$.
Do $y\ge 0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Suy ra có 8 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Trường hợp 4: $x=3\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 15\Leftrightarrow 3-\sqrt{15}\le y\le 3+\sqrt{15}$.
Do $y\ge 0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Trường hợp 5: $x=4\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 15\Leftrightarrow 3-2\sqrt{3}\le y\le 3+2\sqrt{3}$.
Do $y\ge 0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Suy ra có 7 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Trường hợp 6: $x=5\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 7\Leftrightarrow 3-\sqrt{7}\le y\le 3+\sqrt{7}$.
Do $y\ge 0$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \left\{ 1;2;3;4;5 \right\}$.
Suy ra có 5 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Trường hợp 7: $x=6\Rightarrow {{\left( y-3 \right)}^{2}}\le 0\Rightarrow y=3$.
Suy ra có 1 cặp $\left( x;y \right)$ thoả mãn.
Vậy có tất cả 42 cặp số nguyên không âm $\left( x;y \right)$ thoả mãn điều kiện bài toán.