Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x,y \right)$ thỏa mãn $1\le...

Phương trình ${{384.128}^{{{x}^{2}}-2x}}-{{6.8}^{y}}+6=3y-7{{x}^{2}}+14x$
$\Leftrightarrow {{3.128}^{{{x}^{2}}-2x+1}}+7{{x}^{2}}-14x+7={{6.8}^{y}}+3y+1$
$\Leftrightarrow {{3.2}^{7.({{x}^{2}}-2x+1)}}+7\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)={{3.2}^{3y+1}}+3y+1$ (1)
Xét hàm đặt trưng: $f\left( t \right)={{3.2}^{t}}+t\text{ }\forall t\in R$.
$\Rightarrow f'\left( t \right)={{3.2}^{t}}\ln 2+1>0\text{ }\forall t$ $\Rightarrow $ hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến trên $R$.
$\Rightarrow $ phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow 7\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)=3y+1\Leftrightarrow 7{{\left( x-1 \right)}^{2}}=3y+1$
Vì $1\le x\le 2023$
Với $x=1\Rightarrow y=-\dfrac{1}{3}$ loại.
Với $x=2\Rightarrow y=2$ nhận.
Với $x=3\Rightarrow y=9$ nhận.
Với $x=4\Rightarrow y=\dfrac{62}{3}$ loại.
……………………………
……………………………
Với $x=2023\Rightarrow y=9539795,667$ loại.
$\Rightarrow $ các giá trị bị loại là ${{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=4........{{x}_{n}}=2023$ là cấp số cộng với ${{u}_{1}}=1,d=3$
và ${{u}_{n}}=2023\Rightarrow {{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d\Rightarrow n=675$ số.
Vậy có $2023-675=1348$ giá trị nguyên của y $\Rightarrow $ có 1348 cặp số $\left( x;y \right)$.