Có bao nhiêu số nguyên $a\in \left[ -10;10 \right]$ để hàm số...

Với $a=-3$ : $y=3$ là hàm hằng nên không có cực trị.
Với $a=3$ : $y=-6{{x}^{2}}+3$ đạt cực đại tại $x=0$.
Với $a\ne \pm 3$ : ${y}'=4\left( {{a}^{2}}-9 \right){{x}^{3}}-2\left( a+3 \right)x=2x\left[ 2\left( {{a}^{2}}-3 \right){{x}^{2}}-\left( a+3 \right) \right]$
${y}'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{x}^{2}}=\dfrac{1}{2\left( a-3 \right)}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.$.
TH1: $a>3$, khi đó $\left( * \right)$ có 2 nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{\dfrac{1}{2\left( a-3 \right)}}$
Suy ra hàm số có 3 cực trị nên luôn có điểm cực đại.
TH2: $-3<a<3$, khi đó $\left( * \right)$ vô nghiệm, dựa vào bảng xét dấu hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
TH3: $a<-3$, khi đó $\left( * \right)$ vô nghiệm, dựa vào bảng xét dấu hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $a>-3$, kết hợp $a\in \left[ -10;10 \right]$ thì có 13 số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.