Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập họp các giá trị nguyên của $y$ sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x\in \left[ \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2} \right]$ thỏa mãn $\text{lo}{{\text{g}}_{2}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)=\text{lo}{{\text{g}}_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)$. Số phần tử của $S$ là
A. $3$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $8$.
C. $7$.
D. $1$.
$\begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)={{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right) \\
& \Leftrightarrow y={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9 \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( x \right)={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9, x\in \left[ \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2} \right]$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\left( 3-x \right)\left[ \dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+6x \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}+3\left( x-1 \right) \right]$.
Ta thấy $\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+6x \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}+3\left( x-1 \right)>0\forall x\in \left[ \dfrac{3}{2}; \dfrac{9}{2} \right]$. Khi đó $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=4 \\
& -6,8<y<0,04 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $y$ nguyên $\Rightarrow y\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1;4 \right\}.$
Vậy số phần tử của $S$ là $7$.
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+y \right)={{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right) \\
& \Leftrightarrow y={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9 \\
\end{aligned}$
Xét $f\left( x \right)={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9, x\in \left[ \dfrac{3}{2};\dfrac{9}{2} \right]$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\left( 3-x \right)\left[ \dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+6x \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}+3\left( x-1 \right) \right]$.
Ta thấy $\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+6x \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+6x \right)}}+3\left( x-1 \right)>0\forall x\in \left[ \dfrac{3}{2}; \dfrac{9}{2} \right]$. Khi đó $f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=3$
Bảng biến thiên
& y=4 \\
& -6,8<y<0,04 \\
\end{aligned} \right.$.
Do $y$ nguyên $\Rightarrow y\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1;4 \right\}.$
Vậy số phần tử của $S$ là $7$.
Đáp án C.
