Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $y$ sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$ thỏa mãn ${{\log }_{2}}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y \right)={{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)$. Số phần tử của $S$ bằng
A. $8$.
B. $7$.
C. $3$.
D. $1$.
A. $8$.
B. $7$.
C. $3$.
D. $1$.
Ta có ${{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}$ $\Leftrightarrow y={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x$
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x,\forall x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$
${f}'\left( x \right)={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2.\dfrac{-2x+8}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}-3{{x}^{2}}+18x-24$
$=-3\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)-\dfrac{2\left( x-4 \right)}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2$
${f}'\left( x \right)=\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& -3\left( x-2 \right)-\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có:
$-{{x}^{2}}+8x-7>0, \forall x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]\Rightarrow -3\left( x-2 \right)-\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2<0, \forall x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$
Bảng biến thiên
Yêu cầu bài toán suy ra $\left[ \begin{aligned}
& y=-12 \\
& -22.788\le y<16.038 \\
\end{aligned} \right.$
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên ta được tập các giá trị của $y$ là $\left\{ -22;-21;-20;-19;-18;-17;-12 \right\}.$
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x,\forall x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$
${f}'\left( x \right)={{2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2.\dfrac{-2x+8}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}-3{{x}^{2}}+18x-24$
$=-3\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)-\dfrac{2\left( x-4 \right)}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2$
${f}'\left( x \right)=\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=4 \\
& -3\left( x-2 \right)-\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2=0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có:
$-{{x}^{2}}+8x-7>0, \forall x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]\Rightarrow -3\left( x-2 \right)-\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)\ln 3}{{.2}^{{{\log }_{3}}\left( -{{x}^{2}}+8x-7 \right)}}.\ln 2<0, \forall x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$
Bảng biến thiên
& y=-12 \\
& -22.788\le y<16.038 \\
\end{aligned} \right.$
Do $y\in \mathbb{Z}$ nên ta được tập các giá trị của $y$ là $\left\{ -22;-21;-20;-19;-18;-17;-12 \right\}.$
Vậy có 7 giá trị thỏa mãn.
Đáp án B.
