Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $y$ sao cho ứng với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$ thoả mãn ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y \right)={{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)$. Số phần tử của $S$ là
A. $3$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $7$.
A. $3$.
B. $8$.
C. $1$.
D. $7$.
ĐK: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y>0 \\
& -{{x}^{2}}+8x-12>0\Leftrightarrow 2<x<6 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y \right)={{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}$
$\Leftrightarrow y={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x$ với $x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{-2x+8}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}-3{{x}^{2}}+18x-24$
$={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{-2\left( x-4 \right)}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}-3\left( x-4 \right)\left( x-2 \right)$
$=-\left( x-4 \right)\left[ {{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}+3\left( x-2 \right) \right]$
Vì $2<x<6$ nên ${{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}+3\left( x-2 \right)>0$
Do đó, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=4$.
Bảng biến thiên
Mà $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y\in \left\{ -7;-23;-22;...;-17 \right\}$.
Vậy tập $S$ có $8$ phần tử.
& {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y>0 \\
& -{{x}^{2}}+8x-12>0\Leftrightarrow 2<x<6 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có: ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y \right)={{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-9{{x}^{2}}+24x+y={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}$
$\Leftrightarrow y={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-24x$ với $x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$.
Ta có: ${f}'\left( x \right)={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{-2x+8}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}-3{{x}^{2}}+18x-24$
$={{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{-2\left( x-4 \right)}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}-3\left( x-4 \right)\left( x-2 \right)$
$=-\left( x-4 \right)\left[ {{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}+3\left( x-2 \right) \right]$
Vì $2<x<6$ nên ${{3}^{{{\log }_{2}}\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right)}}.\ln 3.\dfrac{2}{\left( -{{x}^{2}}+8x-12 \right).\ln 2}+3\left( x-2 \right)>0$
Do đó, ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=4$.
Bảng biến thiên
4774565443865
Để với mỗi $y$, tồn tại duy nhất một giá trị $x\in \left[ \dfrac{5}{2};\dfrac{11}{2} \right]$ thì $y=-7$ hoặc $-23,7\le y<-16,95$.Mà $y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y\in \left\{ -7;-23;-22;...;-17 \right\}$.
Vậy tập $S$ có $8$ phần tử.
Đáp án B.