Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z=a+bi \left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=8$ và $ab\ge 0$. Xét ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thuộc $S$ sao cho $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1+i}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}}+4i \right|+\left| {{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $4.$
B. $4\sqrt{2}.$
C. $4\sqrt{5}.$
D. $4+4\sqrt{2}.$
A. $4.$
B. $4\sqrt{2}.$
C. $4\sqrt{5}.$
D. $4+4\sqrt{2}.$
Từ giả thiết suy ra $\left| a \right|+\left| b \right|=4\Rightarrow a+b=\pm 4$ (do $ab\ge 0$ )
Đặt ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+i{{b}_{1}}, {{z}_{2}}={{a}_{2}}+i{{b}_{2}};\left( {{a}_{1}}, {{b}_{1}}, {{a}_{2}}, {{b}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$.
Do $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1+i}$ là số thực dương nên ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}={{b}_{1}}-{{b}_{2}}$ và ${{a}_{1}}+{{b}_{1}}>{{a}_{2}}+{{b}_{2}}$
Do đó ${{a}_{1}}+{{b}_{1}}=4\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{2}}={{a}_{1}}-4 \\
& {{b}_{2}}={{a}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{z}_{1}}=x+\left( 4-x \right)i$, ${{z}_{2}}=x-4+xi$
Vậy $\left| {{z}_{1}}+4i \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( 8-x \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=4\sqrt{5}$
Dấu “=” xảy ra khi $x=\dfrac{8}{3}$.
Đặt ${{z}_{1}}={{a}_{1}}+i{{b}_{1}}, {{z}_{2}}={{a}_{2}}+i{{b}_{2}};\left( {{a}_{1}}, {{b}_{1}}, {{a}_{2}}, {{b}_{2}}\in \mathbb{R} \right)$.
Do $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1+i}$ là số thực dương nên ${{a}_{1}}-{{a}_{2}}={{b}_{1}}-{{b}_{2}}$ và ${{a}_{1}}+{{b}_{1}}>{{a}_{2}}+{{b}_{2}}$
Do đó ${{a}_{1}}+{{b}_{1}}=4\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{a}_{2}}={{a}_{1}}-4 \\
& {{b}_{2}}={{a}_{1}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow {{z}_{1}}=x+\left( 4-x \right)i$, ${{z}_{2}}=x-4+xi$
Vậy $\left| {{z}_{1}}+4i \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{\left( 8-x \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}\ge \sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=4\sqrt{5}$
Dấu “=” xảy ra khi $x=\dfrac{8}{3}$.
Đáp án C.
