Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp các số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa mãn $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=4$ và $ab>0.$ Xét ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ thuộc $S$ sao cho $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1+i}$ là số thực dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}}-2i \right|$ bằng
A. $2\sqrt{2}$.
B. $2$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $2+2\sqrt{2}$.
A. $2\sqrt{2}$.
B. $2$.
C. $2\sqrt{5}$.
D. $2+2\sqrt{2}$.
Đầu tiên ta có $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$ thì khi đó $\left| z+\overline{z} \right|+\left| z-\overline{z} \right|=4\Leftrightarrow \left| a \right|+\left| b \right|=2,ab>0.$
Do $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1+i}$ là số thực dương nên khi $M\left( {{z}_{1}} \right),N\left( {{z}_{2}} \right)$ thì ta có:
$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM}=k\left( 1+i \right)=k\overrightarrow{OE}\left( k\in {{\mathbb{R}}^{+}} \right)$ với $E\left( 1;1 \right).$
Do $ab>0$ nên tập hợp các điểm $M,N$ thuộc $S$ biểu diễn như hình vẽ sau:
Gọi $F\left( -2;-2 \right)$ là điểm đối xứng với $O$ qua đoạn thẳng $CD$
Suy ra $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}}-2i \right|=MO+NA=NO+NA=NF+NA\ge FA=2\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv {{M}_{0}}=AF\cap CD.$ Chọn đáp án $C$.
Do $\dfrac{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}{1+i}$ là số thực dương nên khi $M\left( {{z}_{1}} \right),N\left( {{z}_{2}} \right)$ thì ta có:
$\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{NM}=k\left( 1+i \right)=k\overrightarrow{OE}\left( k\in {{\mathbb{R}}^{+}} \right)$ với $E\left( 1;1 \right).$
Do $ab>0$ nên tập hợp các điểm $M,N$ thuộc $S$ biểu diễn như hình vẽ sau:
Suy ra $P=\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}}-2i \right|=MO+NA=NO+NA=NF+NA\ge FA=2\sqrt{5}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $M\equiv {{M}_{0}}=AF\cap CD.$ Chọn đáp án $C$.
Đáp án A.