Google
Câu hỏi: Hai con lắc lò xo giống nhau có khối lượng vật nặng $m=100g$ dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau (vị trí cân bằng hai vật đều ở gốc tọa độ). Thời điểm $t=0$, tỉ số li độ của hai vật là $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. Đồ thị biểu diễn sự biến thiên thế năng của hai vật theo thời gian như hình vẽ. Lấy ${{\pi }^{2}}=10$. Khoảng cách giữa hai chất điểm tại $t=5s$ là
A. 7 cm
B. 5 cm
C. 3 cm
D. 9 cm
A. 7 cm
B. 5 cm
C. 3 cm
D. 9 cm
Ta có: $\dfrac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{W}_{t1\max }}}{{{W}_{t2\max }}}}=\sqrt{\dfrac{0,6}{0,4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
Gọi $\alpha $ là góc quay trong thời gian từ 0 đến 1s
Đối với dao động (2) thì thời điểm $t=0$ và $t=1$ s đối xứng nhau qua trục hoành. Đối với dao động (1) thì thời điểm $t=0$ là một điểm bất kỳ trong góc phần tư thứ nhất, $t=1$ ở vtcb theo chiều âm (hình vẽ)
Tại thời điểm $t=0:\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \pi /2-\alpha \right) \\
& {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \dfrac{\alpha }{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\dfrac{\cos \dfrac{\alpha }{2}}{\cos \left( \pi /2-\alpha \right)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow \omega =\dfrac{\alpha }{\Delta t}=\dfrac{\pi /3}{1}=\dfrac{\pi }{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{W}_{t1\max }}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{1}^{2}\Leftrightarrow {{0,6.10}^{-3}}=\dfrac{1}{2}0,1{{\left( \dfrac{\pi }{3} \right)}^{2}}A_{1}^{2} \\
& {{W}_{t2\max }}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{2}^{2}\Leftrightarrow {{0,4.10}^{-3}}=\dfrac{1}{2}0,1{{\left( \dfrac{\pi }{3} \right)}^{2}}A_{2}^{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{A}_{1}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{50}m \\
& {{A}_{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{50}m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Phương trình dao động của (1) và (2) là $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{50}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}t+\dfrac{\pi }{6} \right)m \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}t-\dfrac{\pi }{6} \right)m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Khoảng cách của (1) và (2) tại $t=5$ là
$d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| \dfrac{3\sqrt{3}}{50}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}.5+\dfrac{\pi }{6} \right)-\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}.5-\dfrac{\pi }{6} \right) \right|=0,09m=9cm$.
Gọi $\alpha $ là góc quay trong thời gian từ 0 đến 1s
Đối với dao động (2) thì thời điểm $t=0$ và $t=1$ s đối xứng nhau qua trục hoành. Đối với dao động (1) thì thời điểm $t=0$ là một điểm bất kỳ trong góc phần tư thứ nhất, $t=1$ ở vtcb theo chiều âm (hình vẽ)
Tại thời điểm $t=0:\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}={{A}_{1}}\cos \left( \pi /2-\alpha \right) \\
& {{x}_{2}}={{A}_{2}}\cos \dfrac{\alpha }{2} \\
\end{aligned} \right.$
Do $\dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\dfrac{\cos \dfrac{\alpha }{2}}{\cos \left( \pi /2-\alpha \right)}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \alpha =\dfrac{\pi }{3}\Rightarrow \omega =\dfrac{\alpha }{\Delta t}=\dfrac{\pi /3}{1}=\dfrac{\pi }{3}$
Ta có: $\left\{ \begin{aligned}
& {{W}_{t1\max }}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{1}^{2}\Leftrightarrow {{0,6.10}^{-3}}=\dfrac{1}{2}0,1{{\left( \dfrac{\pi }{3} \right)}^{2}}A_{1}^{2} \\
& {{W}_{t2\max }}=\dfrac{1}{2}m{{\omega }^{2}}A_{2}^{2}\Leftrightarrow {{0,4.10}^{-3}}=\dfrac{1}{2}0,1{{\left( \dfrac{\pi }{3} \right)}^{2}}A_{2}^{2} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{A}_{1}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{50}m \\
& {{A}_{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{50}m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Phương trình dao động của (1) và (2) là $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{50}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}t+\dfrac{\pi }{6} \right)m \\
& {{x}_{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}t-\dfrac{\pi }{6} \right)m \\
\end{aligned} \right.$
$\Rightarrow $ Khoảng cách của (1) và (2) tại $t=5$ là
$d=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=\left| \dfrac{3\sqrt{3}}{50}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}.5+\dfrac{\pi }{6} \right)-\dfrac{3\sqrt{2}}{5}\cos \left( \dfrac{\pi }{3}.5-\dfrac{\pi }{6} \right) \right|=0,09m=9cm$.
Đáp án D.