Google
Câu hỏi: Một chiếc ly bằng thủy tinh đang chứa nước bên trong được tạo thành khi quay một phần đồ thị hàm số $y={{2}^{x}}$ xung quanh trục $Oy.$ Người ta thả vào chiếc ly một viên bi hình cầu có bán kính $R$ thì mực nước dâng lên phủ kín viên bi đồng thời chạm tới miệng ly. Biết điểm tiếp xúc của viên bi và chiếc ly cách đáy của chiếc ly $3 cm$ (như hình vẽ). Thể tích nước có trong ly gần với giá trị nào nhất trong các giá trị sau?
A. $30 c{{m}^{2}}.$
B. $40 c{{m}^{2}}.$
C. $50 c{{m}^{2}}.$
D. $60 c{{m}^{2}}.$
Xét mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua trục của chiếc ly. Gọi $\left( \tau \right)$ là đường tròn lớn của quả cầu. Ta thấy đường tròn $\left( \tau \right)$ và đồ thị $\left( C \right):y={{2}^{x}}$ tiếp xúc nhau tại $A.$ Chọn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ, ta được $A\left( 2; 4 \right).$
Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A$ là $\left( d \right):y=\left( 4\ln 2 \right).x-8\ln 2+4.$
Đường thẳng vuông góc với $\left( d \right)$ tại $A$ là $\left( \Delta \right):y=-\dfrac{1}{4\ln 2}.x+\dfrac{1}{2\ln 2}+4.$
Tâm $I$ của đường tròn $\left( \tau \right)$ là giao điểm của $\left( \Delta \right)$ và $Oy,$ ta được $I\left( 0; \dfrac{1+8\ln 2}{2\ln 2} \right).$
Ta có $IA=\left( 2; -\dfrac{1}{2\ln 2} \right),$ suy ra thể tích khối cầu ${{V}_{khoi cau}}=\dfrac{4\pi }{3}.I{{A}^{3}}\approx 40,26 c{{m}^{3}}.$
Dung tích chiếc ly là $V=\pi \int\limits_{1}^{{{y}_{B}}}{{{\left[ {{\log }_{2}}y \right]}^{2}}\text{dy}}\approx 69,92 c{{m}^{3}}.$
Thể tích nước chứa trong chiếc ly là ${{V}_{nuoc}}=V-{{V}_{khoi cau}}\approx 29,66 c{{m}^{3}}.$
B. $40 c{{m}^{2}}.$
C. $50 c{{m}^{2}}.$
D. $60 c{{m}^{2}}.$
Tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $A$ là $\left( d \right):y=\left( 4\ln 2 \right).x-8\ln 2+4.$
Đường thẳng vuông góc với $\left( d \right)$ tại $A$ là $\left( \Delta \right):y=-\dfrac{1}{4\ln 2}.x+\dfrac{1}{2\ln 2}+4.$
Tâm $I$ của đường tròn $\left( \tau \right)$ là giao điểm của $\left( \Delta \right)$ và $Oy,$ ta được $I\left( 0; \dfrac{1+8\ln 2}{2\ln 2} \right).$
Ta có $IA=\left( 2; -\dfrac{1}{2\ln 2} \right),$ suy ra thể tích khối cầu ${{V}_{khoi cau}}=\dfrac{4\pi }{3}.I{{A}^{3}}\approx 40,26 c{{m}^{3}}.$
Dung tích chiếc ly là $V=\pi \int\limits_{1}^{{{y}_{B}}}{{{\left[ {{\log }_{2}}y \right]}^{2}}\text{dy}}\approx 69,92 c{{m}^{3}}.$
Thể tích nước chứa trong chiếc ly là ${{V}_{nuoc}}=V-{{V}_{khoi cau}}\approx 29,66 c{{m}^{3}}.$
Đáp án A.