Google
Câu hỏi: Một dụng cụ hình nón bằng thủy tinh, bên trong có chứa một lượng nước. Khi đặt dụng cụ sao cho đỉnh hình nón hướng xuống dưới theo chiều thẳng đứng thì phần không gian trống trong dụng cụ có chiều cao $2$ cm. Khi lật ngược dụng cụ để đỉnh hướng lên trên theo chiều thẳng đứng thì mực nước cao cách đỉnh của nón $8$ cm (hình vẽ minh họa bên dưới).
Biết chiều cao của nón là $h=a+\sqrt{b}$ $T=a+b$ cm. Tính $T=a+b$.
A. $22$.
B. $58$. $72$
C. $86$.
D. $72$.
A. $22$.
B. $58$. $72$
C. $86$.
D. $72$.
Gọi $r,h,V$ lần lượt là bán kính, chiều cao, thể tích của hình nón và ${{V}_{1}}$ là thể tích nước ở hình 1 và ${{V}_{2}}$ là thể tích của hình nón không có nước trong hình 2.
Ở hình vẽ 1, gọi ${{r}_{1}}$, ${{h}_{1}}$ là bán kính và chiều cao của phần nước hình nón, khi đó:
$\dfrac{{{V}_{_{_{1}}}}}{V}=\dfrac{{{h}_{1}}\pi {{r}_{1}}^{2}}{h\pi {{r}_{2}}}=\dfrac{{{h}_{1}}{{r}_{1}}^{2}}{h{{r}^{2}}}={{\left( \dfrac{{{h}_{1}}}{h} \right)}^{3}}={{\left( 1-\dfrac{2}{h} \right)}^{3}}$
Ở hình vẽ 2 gọi ${{r}_{2}},{{h}_{2}}$ Là bán kính và chiều cao của hình nón không có nước, khi đó:
$\dfrac{{{V}_{2}}}{V}=\dfrac{{{h}_{2}}\pi {{r}_{2}}^{2}}{h\pi {{r}^{2}}}=\dfrac{{{h}_{2}}{{r}_{2}}^{2}}{h{{r}^{2}}}={{\left( \dfrac{{{h}_{2}}}{h} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{8}{h} \right)}^{3}}$
Cộng vế ta có:
$\dfrac{{{V}_{1}}}{V}+\dfrac{{{V}_{2}}}{V}={{\left( 1-\dfrac{2}{h} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{8}{h} \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{h}^{3}}={{\left( h-2 \right)}^{3}}+{{8}^{3}}\Leftrightarrow -6{{h}^{2}}+12h+504=0\Rightarrow h=1+\sqrt{85}$
.
Ở hình vẽ 1, gọi ${{r}_{1}}$, ${{h}_{1}}$ là bán kính và chiều cao của phần nước hình nón, khi đó:
$\dfrac{{{V}_{_{_{1}}}}}{V}=\dfrac{{{h}_{1}}\pi {{r}_{1}}^{2}}{h\pi {{r}_{2}}}=\dfrac{{{h}_{1}}{{r}_{1}}^{2}}{h{{r}^{2}}}={{\left( \dfrac{{{h}_{1}}}{h} \right)}^{3}}={{\left( 1-\dfrac{2}{h} \right)}^{3}}$
Ở hình vẽ 2 gọi ${{r}_{2}},{{h}_{2}}$ Là bán kính và chiều cao của hình nón không có nước, khi đó:
$\dfrac{{{V}_{2}}}{V}=\dfrac{{{h}_{2}}\pi {{r}_{2}}^{2}}{h\pi {{r}^{2}}}=\dfrac{{{h}_{2}}{{r}_{2}}^{2}}{h{{r}^{2}}}={{\left( \dfrac{{{h}_{2}}}{h} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{8}{h} \right)}^{3}}$
Cộng vế ta có:
$\dfrac{{{V}_{1}}}{V}+\dfrac{{{V}_{2}}}{V}={{\left( 1-\dfrac{2}{h} \right)}^{3}}={{\left( \dfrac{8}{h} \right)}^{3}}\Leftrightarrow {{h}^{3}}={{\left( h-2 \right)}^{3}}+{{8}^{3}}\Leftrightarrow -6{{h}^{2}}+12h+504=0\Rightarrow h=1+\sqrt{85}$
.
Đáp án C.
