Google
Câu hỏi: Một vật nặng được bắn lên điểm $O$ trên mặt đất với vận tốc ban đầu ${{v}_{0}}=10m/s$, các góc bắn $\alpha $ với ${{30}^{0}}\le \alpha \le {{90}^{0}}$ (bỏ qua dức cản không khí và coi gia tốc rơi tự do là $g=10m/{{s}^{2}}$ ). Cho biết với góc bắn $\alpha <{{90}^{0}}$ thì quỹ đạo của vật là một phần của parabol $y=x\tan \alpha -\dfrac{g}{2{{v}_{0}}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha }{{x}^{2}}$ và xét trên một mặt phẳng đứng, khi $\alpha $ thay đổi thì các quỹ đạo của vật nặng sinh ra một hình phẳng giới hạn bởi một phần của parabol $\left( P \right)$ và mặt đất (xem hình vẽ), Tính thể tích vùng không gian chứa tất cả các vị trí có thể của vật nặng.
A. $802,6{{m}^{3}}$.
B. $785,4{{m}^{3}}$.
C. $589,1{{m}^{3}}$.
D. $644,3{{m}^{3}}$.
Với góc bắn $\alpha <{{90}^{0}}$ thì quỹ đạo cảu vật thể là một phần của parabol
$y=x\tan \alpha -\dfrac{g}{2{{v}_{0}}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha }{{x}^{2}}$
Suy ra tầm xa của vật và độ cao lớn nhất của vật lần lượt là $L=\dfrac{{{v}_{0}}^{2}\sin 2\alpha }{g}$ và $H=\dfrac{{{v}_{0}}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g}$.
Dễ thấy, vật đạt được tầm xa lớn nhất khi $\alpha ={{45}^{0}}$, tức tầm xa lớn nhất là ${{L}_{\max }}=10$ hay $A\left( 10;0 \right)\in \left( P \right)$. Với góc ném $\alpha ={{90}^{0}}$ thì quỹ đạo của vật là đoạn $OI$, khi đó độ cao của vật tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi $y={{v}_{0}}t-\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}$
Do đó, ta thấy vật đạt độ cao lớn nhất khi $\alpha ={{90}^{0}}$, khi đó độ cao lớn nhất của vật là ${{H}_{\max }}=5$. Suy ra $I\left( 0;5 \right)$ là đỉnh của parabol $\left( P \right)$. Hàm số bậc hai có đồ thị $\left( P \right)$ có dạng $y=a\left( x-10 \right)\left( x+10 \right)=a\left( {{x}^{2}}-100 \right)$. Thay $x=0$, ta được:
$5=a\left( {{0}^{2}}-100 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{1}{20}\Rightarrow x=\sqrt{100-20y}$
Vậy thể tích vùng không gian cần tìm là:
$V=\pi \int\limits_{0}^{5}{{{\left( \sqrt{100-20y} \right)}^{2}}dy}=250\pi {{m}^{3}}\approx 785,4{{m}^{3}}$
B. $785,4{{m}^{3}}$.
C. $589,1{{m}^{3}}$.
D. $644,3{{m}^{3}}$.
$y=x\tan \alpha -\dfrac{g}{2{{v}_{0}}^{2}{{\cos }^{2}}\alpha }{{x}^{2}}$
Suy ra tầm xa của vật và độ cao lớn nhất của vật lần lượt là $L=\dfrac{{{v}_{0}}^{2}\sin 2\alpha }{g}$ và $H=\dfrac{{{v}_{0}}^{2}{{\sin }^{2}}\alpha }{2g}$.
Dễ thấy, vật đạt được tầm xa lớn nhất khi $\alpha ={{45}^{0}}$, tức tầm xa lớn nhất là ${{L}_{\max }}=10$ hay $A\left( 10;0 \right)\in \left( P \right)$. Với góc ném $\alpha ={{90}^{0}}$ thì quỹ đạo của vật là đoạn $OI$, khi đó độ cao của vật tại thời điểm $t$ (giây) được cho bởi $y={{v}_{0}}t-\dfrac{1}{2}g{{t}^{2}}$
Do đó, ta thấy vật đạt độ cao lớn nhất khi $\alpha ={{90}^{0}}$, khi đó độ cao lớn nhất của vật là ${{H}_{\max }}=5$. Suy ra $I\left( 0;5 \right)$ là đỉnh của parabol $\left( P \right)$. Hàm số bậc hai có đồ thị $\left( P \right)$ có dạng $y=a\left( x-10 \right)\left( x+10 \right)=a\left( {{x}^{2}}-100 \right)$. Thay $x=0$, ta được:
$5=a\left( {{0}^{2}}-100 \right)\Rightarrow a=-\dfrac{1}{20}\Rightarrow x=\sqrt{100-20y}$
Vậy thể tích vùng không gian cần tìm là:
$V=\pi \int\limits_{0}^{5}{{{\left( \sqrt{100-20y} \right)}^{2}}dy}=250\pi {{m}^{3}}\approx 785,4{{m}^{3}}$
Đáp án B.