Google
Câu hỏi: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$ và mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=8$. Một đường thẳng đi qua điểm $M$ và cắt $\left( S \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Diện tích lớn nhất của tam giác $OAB$ bằng
A. $4$.
B. $2\sqrt{7}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{7}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$ $\Rightarrow OM=1<R$ $\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB\Rightarrow OH\le OM$.
Đặt $OH=x\Rightarrow 0\le x\le 1$.
Đặt $\widehat{AOH}=\alpha \Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{AH}{OA}=\dfrac{\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}}{OA}=\dfrac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{2\sqrt{2}}$ ; $\cos \alpha =\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{x}{2\sqrt{2}}$.
Suy ra $\sin \widehat{AOB}=2\sin \alpha \cos \alpha =\dfrac{x\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{4}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ với $0\le x\le 1$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
${f}'\left( x \right)=\sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\dfrac{8-2{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}>0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\sqrt{7}$
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $OAB$ bằng $\sqrt{7}$.
A. $4$.
B. $2\sqrt{7}$.
C. $2\sqrt{2}$.
D. $\sqrt{7}$.
Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( 0;0;0 \right)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có: $\overrightarrow{OM}=\left( \dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{3}}{2};0 \right)$ $\Rightarrow OM=1<R$ $\Rightarrow $ điểm $M$ nằm trong mặt cầu $\left( S \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm $AB\Rightarrow OH\le OM$.
Đặt $OH=x\Rightarrow 0\le x\le 1$.
Đặt $\widehat{AOH}=\alpha \Rightarrow \sin \alpha =\dfrac{AH}{OA}=\dfrac{\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}}}{OA}=\dfrac{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{2\sqrt{2}}$ ; $\cos \alpha =\dfrac{OH}{OA}=\dfrac{x}{2\sqrt{2}}$.
Suy ra $\sin \widehat{AOB}=2\sin \alpha \cos \alpha =\dfrac{x\sqrt{8-{{x}^{2}}}}{4}$.
Ta có: ${{S}_{\Delta OAB}}=\dfrac{1}{2}OA.OB.\sin \widehat{AOB}=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ với $0\le x\le 1$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=x\sqrt{8-{{x}^{2}}}$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$
${f}'\left( x \right)=\sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}=\dfrac{8-2{{x}^{2}}}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}>0,\forall x\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow \underset{\left[ 0;1 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=\sqrt{7}$
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác $OAB$ bằng $\sqrt{7}$.
Đáp án D.