Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $\text{Ox}yz$, cho mặt cầu $(S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=27$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua hai điểm $A(0;0;-4),B(2;0;0)$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ sao cho khối nón có đỉnh là tâm của $(S)$ và đáy là đường tròn $(C)$ có thể tích lớn nhất. Biết rằng $(\alpha ):ax+by-z+c=0$. Tính $P=a-b+c$
A. $P=8$
B. $P=0$
C. $P=2$
D. $P=-4$
+ Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm mặt cầu $I(1;-2;3);R=3\sqrt{3}$
Mp $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$ qua $A(0;0;-4),B(2;0;0)$ nên $c=-4;a=2.$
$\Rightarrow $ $\left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$.
+ Gọi $h$ và $r$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón. $\Rightarrow h=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$.
$\Rightarrow r=\sqrt{27-\dfrac{{{\left( 2b+5 \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5}}$ $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{{{b}^{2}}+5}.\left( 27-\dfrac{{{\left( 2b+5 \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5} \right)$.
Đặt $t=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{{{b}^{2}}+5}$, với $0<t<3\sqrt{3}$ $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\pi .=\dfrac{1}{3}\pi .t.\left( 27-{{t}^{2}} \right)$
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{1}{3}\pi .t.\left( 27-{{t}^{2}} \right),t>0$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( 27-3{{t}^{2}} \right)=0\Rightarrow t=3.$
Vậy GTLN của $f\left( t \right)=\dfrac{1}{3}\pi .t.\left( 27-{{t}^{2}} \right),t>0$ là $18\pi $ khi $t=3\Rightarrow b=2$.
Vậy $P=a-b+c=-4$.
A. $P=8$
B. $P=0$
C. $P=2$
D. $P=-4$
+ Ta có mặt cầu $(S)$ có tâm mặt cầu $I(1;-2;3);R=3\sqrt{3}$
Mp $\left( \alpha \right):ax+by-z+c=0$ qua $A(0;0;-4),B(2;0;0)$ nên $c=-4;a=2.$
$\Rightarrow $ $\left( \alpha \right):2x+by-z-4=0$.
+ Gọi $h$ và $r$ là chiều cao và bán kính đáy của khối nón. $\Rightarrow h=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{\sqrt{{{b}^{2}}+5}}$.
$\Rightarrow r=\sqrt{27-\dfrac{{{\left( 2b+5 \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5}}$ $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\pi .{{r}^{2}}.h=\dfrac{1}{3}\pi .\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{{{b}^{2}}+5}.\left( 27-\dfrac{{{\left( 2b+5 \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}+5} \right)$.
Đặt $t=\dfrac{\left| 2b+5 \right|}{{{b}^{2}}+5}$, với $0<t<3\sqrt{3}$ $\Rightarrow V=\dfrac{1}{3}.\pi .=\dfrac{1}{3}\pi .t.\left( 27-{{t}^{2}} \right)$
Xét $f\left( t \right)=\dfrac{1}{3}\pi .t.\left( 27-{{t}^{2}} \right),t>0$
${f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{3}\pi \left( 27-3{{t}^{2}} \right)=0\Rightarrow t=3.$
Vậy GTLN của $f\left( t \right)=\dfrac{1}{3}\pi .t.\left( 27-{{t}^{2}} \right),t>0$ là $18\pi $ khi $t=3\Rightarrow b=2$.
Vậy $P=a-b+c=-4$.
Đáp án D.