Xét các số phức $z=a+bi, \left( a, b\in \mathbb{R} \right)$ thỏa...

Đặt ${{z}_{1}}=-1+4i, {{z}_{2}}=9$.
Gọi $M, B, C$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức $z, {{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$.
Khi đó $M\left( a;b \right), B\left( -1;4 \right)$ và $C\left( 9;0 \right)$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$ thì $H\left( 4;2 \right)$.
Ta có $\left| z-2+3i \right|=4\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b+3 \right)}^{2}}=16$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 2;-3 \right)$, bán kính $R=4$.
Dễ thấy $IB>R, IC>R$ nên hai điểm $B, C$ đều nằm ngoài đường tròn $\left( C \right)$.
Do $\overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right), \overrightarrow{BC}=\left( 10;-4 \right)$ nên $\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{BC}=0$
Suy ra $I$ thuộc trung trực $BC$.
Do đó, nếu $IH$ cắt $\left( C \right)$ tại điểm $M$ sao cho $I$ nằm giữa $M$ và $H$ thì $MB+MC$ lớn nhất.
Vì với mọi điểm $N$ khác $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ thì
$NB+NC\le \sqrt{2\left( N{{B}^{2}}+N{{C}^{2}} \right)}=\sqrt{2\left( 2N{{H}^{2}}+\dfrac{B{{C}^{2}}}{2} \right)}=\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}$.
Chú ý rằng $MB+MC=2\sqrt{M{{H}^{2}}+{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}}=\sqrt{4M{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}>\sqrt{4N{{H}^{2}}+B{{C}^{2}}}$
nên $MB+MC>NB+NC$.
Vậy điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{IM}=-\dfrac{R}{IH}.\overrightarrow{IH}$ (1)
trong đó $\overrightarrow{IM}=\left( a-2;b+3 \right), \overrightarrow{IH}=\left( 2;5 \right), R=4, IH=\sqrt{29}$.
Do đó (1) tương với $\left\{ \begin{aligned}
& a-2=\dfrac{-4}{\sqrt{29}}.2 \\
& b+3=\dfrac{-4}{\sqrt{29}}.5 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 5a=10-\dfrac{40}{\sqrt{29}} \\
& 2b=-6-\dfrac{40}{\sqrt{29}} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow 5a-2b=16 $. Vậy $ 5a-2b=16$.