Google
Câu hỏi: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm hình vuông ${A}'{B}'{C}'{D}'$ và điểm $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $OI$ sao cho $MO=2MI$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin của góc tạo bởi mặt phẳng $\left( M{C}'{D}' \right)$ và $\left( MAB \right)$ bằng
A. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}$.
B. $\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$.
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}$.
D. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}$.
A. $\dfrac{6\sqrt{85}}{85}$.
B. $\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$.
C. $\dfrac{17\sqrt{13}}{65}$.
D. $\dfrac{6\sqrt{13}}{65}$.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử các cạnh của hình lập phương bằng 6. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của ${D}'{C}'$ và $AB$. Khi đó ta có $MP=\sqrt{I{{M}^{2}}+I{{P}^{2}}}=\sqrt{10},MQ=\sqrt{34},PQ=6\sqrt{2}$.
Áp dụng định lí côsin ta được
$\cos PMQ=\dfrac{M{{P}^{2}}+M{{Q}^{2}}-P{{Q}^{2}}}{2.MP.MQ}=\dfrac{-14}{\sqrt{340}}$.
Góc $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $M{C}'{D}'$ và $\left( MAB \right)$ ta có $\cos \alpha =\dfrac{14}{\sqrt{340}}=\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$.
Áp dụng định lí côsin ta được
$\cos PMQ=\dfrac{M{{P}^{2}}+M{{Q}^{2}}-P{{Q}^{2}}}{2.MP.MQ}=\dfrac{-14}{\sqrt{340}}$.
Góc $\alpha $ là góc giữa hai mặt phẳng $M{C}'{D}'$ và $\left( MAB \right)$ ta có $\cos \alpha =\dfrac{14}{\sqrt{340}}=\dfrac{7\sqrt{85}}{85}$.
Đáp án B.
