Cho số phức $z=x+yi, \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ thoả mãn...

Gọi $z=x+yi ;\quad x;y\in \mathbb{R}.$
Xét $\left| z+\bar{z}-2 \right|+3\left| z-\bar{z}+4i \right|\le 6\Leftrightarrow \left| x-1 \right|+\left| 3y+6 \right|\le 3.\quad \quad (1)$
Tập hợp những điểm biểu diễn $z=x+yi ;\quad x;y\in \mathbb{R}.$ thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi $ABCD$ với $A\left( -2;-2 \right)$ ; $B\left( 1;-1 \right)$ ; $C\left( 4;-2 \right)$ ; $D\left( 1;-3 \right)$ tạo bởi 4 đường thẳng $\left| x-1 \right|+\left| 3y+6 \right|\le 3.$
Ta có: $\left| z-1-i \right|\le \left| z+3+i \right|\Leftrightarrow 2x+y+2\ge 0$
Tập hợp những điểm biểu diễn $z$ thỏa mãn (2) là nữa mặt phẳng chứa điểm $O$ ( kể cả bờ đường thẳng $2x+y+2=0$ ).
Suy ra tập hợp những điểm biểu diễn $z=x+yi ;\quad x;y\in \mathbb{R}.$ thỏa mãn (1) và $\left( 2 \right)$ là miền trong (tính cả biên) của ngũ giác $EBCDF$ với $E\left( \dfrac{-2}{7};\dfrac{-10}{7} \right)$ ; $B\left( 1;-1 \right)$ ; $C\left( 4;-2 \right)$ ; $D\left( 1;-3 \right)$ ; $F\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{-14}{5} \right)$
Biểu thức $P=2x+3y+5$ sẽ đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miền trong (tính cả biên) của ngũ giác $EBCDF$ khi $\left( x;y \right)$ là toạ độ của một trong các đỉnh $E\left( \dfrac{-2}{7};\dfrac{-10}{7} \right)$ ; $B\left( 1;-1 \right)$ ; $C\left( 4;-2 \right)$ ; $D\left( 1;-3 \right)$ ; $F\left( \dfrac{2}{5};\dfrac{-14}{5} \right)$.
Ta có:
Suy ra $M=7; m=-\dfrac{13}{5}\Rightarrow M+m=\dfrac{22}{5}$.