Google
Câu hỏi: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3$. Một mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ và cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ thỏa mãn $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}+O{{C}^{2}}=27$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng
A. $3\sqrt{3}\cdot $
B. $9\sqrt{3}\cdot $
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot $
D. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\cdot $
A. $3\sqrt{3}\cdot $
B. $9\sqrt{3}\cdot $
C. $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\cdot $
D. $\dfrac{9\sqrt{3}}{2}\cdot $
Đặt $\left\{ \begin{aligned}
& OA=a \\
& OB=b \\
& OC=c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ $\Rightarrow d\left( O,\left( \alpha \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{1}{3}$
Ta có $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)=27.\dfrac{1}{3}=9$.
Mà $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}=9$.
Do đó suy ra $a=b=c=3$.
Diện tích tam giác $ABC$ bằng ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{V}_{OABC}}}{d\left( O,\left( \alpha \right) \right)}=\dfrac{3\dfrac{1}{6}abc}{R}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
& OA=a \\
& OB=b \\
& OC=c \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=27$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$ có dạng $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$.
Vì $\left( \alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ $\Rightarrow d\left( O,\left( \alpha \right) \right)=R\Leftrightarrow \dfrac{\left| -1 \right|}{\sqrt{\dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}}=\dfrac{1}{3}$
Ta có $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)=27.\dfrac{1}{3}=9$.
Mà $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\left( \dfrac{1}{{{a}^{2}}}+\dfrac{1}{{{b}^{2}}}+\dfrac{1}{{{c}^{2}}} \right)\ge 3\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}=9$.
Do đó suy ra $a=b=c=3$.
Diện tích tam giác $ABC$ bằng ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{3{{V}_{OABC}}}{d\left( O,\left( \alpha \right) \right)}=\dfrac{3\dfrac{1}{6}abc}{R}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.
Đáp án D.