Google
Câu hỏi: Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho điểm $A(-2 ; 2 ;-2)$ và điểm $B(3 ;-3 ; 3)$. Điểm $\mathrm{M}$ thay đổi trong không gian thỏa mãn $\dfrac{\dot{M A}}{M B}=\dfrac{2}{3}$. Điểm $N(a ; b ; c)$ thuộc mặt phẳng $(P):-x+2 y-2 z+6=$ 0 sao cho $M N$ nhỏ nhất. Tính tồng $T=a+b+c$.
A. 6 .
B. -2 .
C. 12 .
D. -6 .
Gọi $M(x ; y ; z)$.
Ta có $\dfrac{M A}{M B}=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 9 M A^2=4 M B^2 \Leftrightarrow(x+6)^2+(y-6)^2+(z+6)^2=108$. Vậy điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $I(-6 ; 6 ;-6)$ bán kính $R=6 \sqrt{3}$.
Vậy $M N$ nhỏ nhất khi $M, N$ thuộc đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Khi đó $(d):\left\{\begin{array}{l}x=-6-t \\ y=6+2 t \\ z=-6-2 t\end{array}\right.$. Tọa độ điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình
$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l }
{ x = - 6 - t } \\
{ y = 6 + 2 t } \\
{ z = - 6 - 2 t } \\
{ - x + 2 y - 2 z + 6 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ x = - 6 - t } \\
{ y = 6 + 2 t } \\
{ z = - 6 - 2 t } \\
{ 6 + t + 1 2 + 4 t + 1 2 + 4 t + 6 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=-2 \\
y=-2 \\
z=2 \\
t=-4
\end{array} .\right.\right.\right. \\
& \Rightarrow N(-2 ;-2 ; 2) \text {. Do đó } T=-2-2+2=-2 .
\end{aligned}
$
A. 6 .
B. -2 .
C. 12 .
D. -6 .
Ta có $\dfrac{M A}{M B}=\dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 9 M A^2=4 M B^2 \Leftrightarrow(x+6)^2+(y-6)^2+(z+6)^2=108$. Vậy điểm $M$ thuộc mặt cầu tâm $I(-6 ; 6 ;-6)$ bán kính $R=6 \sqrt{3}$.
Vậy $M N$ nhỏ nhất khi $M, N$ thuộc đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Gọi $(d)$ là đường thẳng đi qua tâm $I$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Khi đó $(d):\left\{\begin{array}{l}x=-6-t \\ y=6+2 t \\ z=-6-2 t\end{array}\right.$. Tọa độ điểm $N$ là nghiệm của hệ phương trình
$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l }
{ x = - 6 - t } \\
{ y = 6 + 2 t } \\
{ z = - 6 - 2 t } \\
{ - x + 2 y - 2 z + 6 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l }
{ x = - 6 - t } \\
{ y = 6 + 2 t } \\
{ z = - 6 - 2 t } \\
{ 6 + t + 1 2 + 4 t + 1 2 + 4 t + 6 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=-2 \\
y=-2 \\
z=2 \\
t=-4
\end{array} .\right.\right.\right. \\
& \Rightarrow N(-2 ;-2 ; 2) \text {. Do đó } T=-2-2+2=-2 .
\end{aligned}
$
Đáp án B.
