Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$ và $x\le 93$ thoả mãn điều kiện $4\left( {{2}^{3y}}+6y \right)\le x+8{{\log }_{2}}(x+7)-9$ ?
A. $106$.
B. $69$.
C. $2$.
D. $92$.
A. $106$.
B. $69$.
C. $2$.
D. $92$.
Ta có: $4\left( {{2}^{3y}}+6y \right)\le x+8{{\log }_{2}}(x+7)-9\Leftrightarrow {{2}^{3y+2}}+8\left( 3y+2 \right)\le {{2}^{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)}}+8{{\log }_{2}}\left( x+7 \right).$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+8t$, ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+8>0, \forall t$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 3y+2 \right)\le f\left( {{\log }_{2}}\left( x+7 \right) \right)\Leftrightarrow 3y+2\le {{\log }_{2}}\left( x+7 \right)\Leftrightarrow y\le \dfrac{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)-2}{3}$.
Vì $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $\dfrac{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)-2}{3}\ge 1\Leftrightarrow x\ge 25$.
Mặt khác $x\le 93$ suy ra $y\le \dfrac{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)-2}{3}\le \dfrac{{{\log }_{2}}\left( 93+7 \right)-2}{3}\approx 1,548$.
Do đó ứng với mỗi $25\le x\le 93$ luôn xác định được duy nhất giá trị $y=1$.
Vậy có $69$ cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+8t$, ta có ${f}'\left( t \right)={{2}^{t}}\ln 2+8>0, \forall t$ nên hàm số $f\left( t \right)$ đồng biến.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 3y+2 \right)\le f\left( {{\log }_{2}}\left( x+7 \right) \right)\Leftrightarrow 3y+2\le {{\log }_{2}}\left( x+7 \right)\Leftrightarrow y\le \dfrac{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)-2}{3}$.
Vì $y\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$ nên $\dfrac{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)-2}{3}\ge 1\Leftrightarrow x\ge 25$.
Mặt khác $x\le 93$ suy ra $y\le \dfrac{{{\log }_{2}}\left( x+7 \right)-2}{3}\le \dfrac{{{\log }_{2}}\left( 93+7 \right)-2}{3}\approx 1,548$.
Do đó ứng với mỗi $25\le x\le 93$ luôn xác định được duy nhất giá trị $y=1$.
Vậy có $69$ cặp số nguyên dương $\left( x;y \right)$.
Đáp án B.