Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình...

Xét phương trình $\left( x-1 \right)\log \left( {{e}^{-x}}+m+2023 \right)=x-2$ (1).
TH 1: Với $x=1$ ta có $VT=0; VP=-1$ suy ra $x=1$ không là nghiệm của phương trình.
TH 2: Với $x\ne 1$ thì phương trình trở thành $\log \left( {{e}^{-x}}+m+2023 \right)=\dfrac{x-2}{x-1}$
$\Leftrightarrow {{e}^{-x}}+m+2023={{10}^{\dfrac{x-2}{x-1}}}$
$\Leftrightarrow m+2023={{10}^{\dfrac{x-2}{x-1}}}-{{e}^{-x}}$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{10}^{\dfrac{x-2}{x-1}}}-{{e}^{-x}}$ có TXĐ $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{10}^{\dfrac{x-2}{x-1}}}.\ln 10+{{e}^{-x}}>0; \forall x\in D$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm thực khi $-0,36<m+2023<10\Leftrightarrow -2023,36-\dfrac{1}{e}<m<-2013$.
Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.